辞めさせてもらえない。解決策を教えてください。

貴方が優柔不断だから難しくしているのです。
法律論は他の回答者の方たちが書いていますからお判りと思います（２週間前までの通知）。
社会的道義を言われる方も居ますが、このケースでは三方一両損的な解決は無意味だと思います。
第一に来月初めから勤務すると約束した次の会社との信義です、初めから破るようでは信用を失います。
第二は、今の会社はいずれにしても不義理をするのですからどうせするなら次の会社との信義を確保出来る、来月初めから勤務すべきです。
貴方が今の会社に誠意を見せたければ「お詫びとして今月給与の一部辞退か、移籍後の休日を使い何日かの業務支援」を自ら申し出る等の方法もあるのでは・・・。
２週間前にこだわり次の会社勤務を月始めから行わないという選択が最悪ですよ。
僕は人事関係の仕事をしていますが、初めからそんな事が起れば採用取り消しを通告します。明らかな契約不履行ですし、いい加減な人という判断です。
詫びるべきはきちん詫び、一番大事な約束（次の会社との）はきちんと守る。
そうせず、どこにも中途半端な対応をしていると本当に大事なものを失ってしまいますよ。
少しきつい物言いで申し訳ありません。

もう、夏のボーナスは貰ったんですよね？

でしたら、モラルには大きく反しますが、トンズラしか無いのではないでしょうか？

退職についての規約は会社によって違います。
小さな会社は2週間前からが多いですが、現実には後任が決まって引き次が終わるまでです。
大手は３か月から１年以上前に申し出なければいけません。いずれも採用が絡んでいるからです。
どんな理由で辞めるにしろ、規約を破って退職するとなるとあとあと事実が付いて回ります。
有給が残っているなら、有給を使って新しい職場に挨拶だけでもいらしたほうが良いんじゃないですか？

現＆新会社の業界が異なっていても、日本の社会では円満退社が原則です。例え、家業の自営業を継ぐ場合でも。

ここまで来れば、現会社に平身低頭してお願いする、或いは新会社に入社延期を頼み込むのが次善の策かと思います。でないと、現会社の怒りをかって懲戒にもって行かれると退職金も没になりかねません、その他のベネフィットも。

とはいえ、これからお世話になる新会社に無理を言うのも抵抗が有るでしょう、または始めから何かマークが付く可能性も有りますので、やっぱり現会社に土下座でもしてお願いベースでの円満退職と考えます。

PS.　失礼ながら、中年でこのご時勢で職を見つけられたのは、何か光るものをお持ちと思います。現会社も手離したくないのかとお見受けしますが。

会社をお辞めになる理由はなんでしょう？？？

会社側に問題があった場合は、急な事でも辞めざるを得ない
事が、出てくるかも知れませんね。

自分の都合で辞める場合は、会社の都合、事情もある程度、聞き入れなければなりませんね。

そこは話し合いで、決める事が出来ると思います。
円満退社が出来ない場合でも、辞める場合は、1ッヶ月前
告知が常識になっていますので、今までお世話になった事も
含めて、よく相談して退社する事をお薦め致します。

文章内容が十二分把握できておりませんのでご返答も大変難しいのですが・・・会社にとって必要不可欠な人材であれば引き止めるには必定！　給料の未払い・遅延・薄給料？　等の条件が揃えば社長と直に話し合いは可能ですが・・・一方的に退社した場合は次の会社入社しても上手く行きません

まず、現職の就業規則を御確認下さい。
そこに退職に対する規定が書かれていると思います。
労基法では、退職したい日の2週間前に届を提出すれば、
強引に退職が可能ですが、あくまでも就業規則に従い、
円満退社をめざされた方が利口かと。

次の職が決まっておられるようですので、早く、
退職届（願）の受理が必要と思われます。

そんな急にいったって　あなた、
そりゃあ我儘過ぎないですか？

最低１ヶ月前にはいうのが普通ですよ。
アルバイトじゃあるまいし。

なんでもっと先にいわなかんですか？

次のところにもう一ヶ月待ってもらうことはできないですか？。

こういう社員がいると、会社も仕事の周りのひとも
えらい迷惑ですね。。困ったもんだ。。

残念ですが、8月1日から新しい会社に行くことは無理でしょうね。

以下は、ネットからの引用です。
-------------------------------------------------------------------
正社員の場合には、いわゆる「期間の定めのない」労働契約を締結しています。この場合は、民法６２７条の規定によって、退職日の２週間前までに退職の申し入れをしなければなりません。

退職の申し入れ後２週間が経過すれば、それで自動的に労働契約は終了し、その際、使用者の承諾は必要ありません。
-----------------------------------------------------------------------
先週の水曜日というのが、7月22日だとすれば、8月4日までは前の会社にいなくてはならないことになります。

以降は、新しい会社にいけると思います。

円満退社にこだわらなければ、8月5日以降は何の問題もなく新しい会社で働けます。